كيف تثبت بالخُلف (البرهان بالتناقض)
¬ P ⟹ تناقض
1. نفترض عكس ما نريد إثباته
2. ننطلق من الفرض ونصل لتناقض
3. إذن الفرض خاطئ → الخاصية صحيحة
الحل خطوة بخطوة
√(2) ليس نسبيًا
1
نفترض √(2) = (p)/(q) مع PGCD(p,q)=1
الفرض
2
2q^2 = p^2 ⟹ p زوجي
نربّع
3
p=2k ⟹ 2q^2=4k^2 ⟹ q زوجي
نعوّض
4
تناقض مع PGCD(p,q)=1
p و q كلاهما زوجيان!
الخلاصة
- افترض العكس
- استنتج حتى تصل لتناقض
- اخلص: الفرض خاطئ إذن الأصل صحيح
⚠️ الخطأ الشائع
نفترض أن √2 نسبي ثم نكتب √2 ≈ 1.41...
يجب الوصول لتناقض منطقي وليس مجرد ملاحظة
التناقض يجب أن يكون مع فرضية معروفة
خطوات البرهان والإثبات
كيف تثبت بالخُلف (البرهان بالتناقض)
افترض عكس ما تريد إثباته، ثم استنتج حتى تصل لتناقض — إذن الفرض خاطئ.
- إثبات أن √2 غير نسبي هو أشهر برهان بالخُلف
- التناقض يجب أن يكون مع فرضية معروفة وليس مجرد ملاحظة